Konzultace 5. 11. 2020

Příklad 1: Krajní body intervalu

Uzavřený krajní bod
\( \langle-5; 1) \)

na grafu bude vyplněné kolečko u bodu -5

\( -5 \) ANO, patří do intervalu

\( -5.01 \) NE

\( -4.99 \) ANO

Otevřený krajní bod
\( (-5; 1) \)

na grafu bude nevyplněné kolečko u bodu -5

\( -5 \) NE, nepatří do intervalu

\( -5.01 \) NE

\( -4.99 \) ANO

Příklad 2: Máme určit doplněk intervalu \( A \) v intervalu \(B\), tedy \( A'_B\).

\( A = (-2;4\rangle; B = \langle-4;\infty) \)

\( A'_B = \langle-4;2\rangle \cup (4;\infty) \)

Příklad 3: \( M = \{x \in N; \frac{26}{x} \in N \}  = \{1;2;13;26\} \)

Příklad 4: \( L = \{x \in Q; \frac{5}{x} \in N \} = \{5;2.5;\frac{5}{3};\frac{5}{4};1;\frac{5}{6}; \frac{5}{7}; \frac{5}{8}; ...\} \)

Příklad 5: Urči, zda je následující množina konečná: \( \{ x \in R\} - \{ x \in I \} - \{ x \in N \} \)

Ne, množina je nekonečná, protože obsahuje například všechna celá, ale nepřirozená čísla \( Z - N \), u které nejsem schopen určit počet prvků.

Příklad 6: Urči, zda je následující množina konečná: \( \{ x \in Z\} - \{x \in Z; x<-5 \land x > 5 \} \)

Ano, množina je konečná, protože z celé nekonečné množiny celých čísel odečítám dva neomezené intervaly \( (-\infty; -5) \) a \( (5; \infty) \) a zbyde mi tam množina \( \{-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5\} \), kde jsem schopen určit počet prvků na 11.

Příklad 7: Urči, zda je následující množina konečná: \( \emptyset \)

Ano, množina je konečná, protože jsem schopen určit počet prvků jako 0.

Příklad 8: Jsou dány množiny \( A =\{1;2;3;4;5;6;7;7.25;7.2\overline{5};8;9;10\} \); \( B = \{ x \in R; x > \frac{9}{4}\pi \} \) a \(C = \{ x \in Z; x < |-\frac{64}{7}| \} \).

Urči počet prvků \( A \cap B \cap C \).

1. Pro zisk relevantních informací z množiny \( B \) vyřeším rovnici \( x > \frac{9}{4}\pi\ \Rightarrow x > 7.07 \)
2. Do množiny \( B \) budou patřit všechna reálná čísla větší než \(7.07\).
   
3. Pro zisk relevantních informací z množiny \( C \) vyřeším rovnici \( x < |-\frac{64}{7}| \Rightarrow x < 9.14 \)
4. Musíme si uvědomit, že do množiny \( C \) patří pouze celá čísla (\(x \in Z\)), tudíž množina \(C\) bude vypadat takto \( \{9;8;7;6;5;4;3;2;1;0;-1;...\} \)
5. Udělám průnik množiny \(A = \{1;2;3;4;5;6;7;7.25;7.2\overline{5};8;9;10\} \) s množinou \(B\) a \(C\).

Výsledná množina se tedy bude skládat z reálných čísel větších než \(7.07\) a celých čísel menších než \(9.14\), které zároveň leží v množině \( A \).

Když bych odhlédl od bodu 4., ležely by mi v průniku 4 čísla \( \{7.25;7.2\overline{5};8;9\} \).
Jenže kvůli bodu 4. neleží ve výsledné množině čísla \(  \{7.25;7.2\overline{5}\} \), protože se nejedná o celá čísla (\(Z\)).

\( A \cap B \cap C = \{8;9\} \)

Počet prvků množiny \( A \cap B \cap C \) je \(2\).