Osnova témat

  • Úvod

    Sbalit vše Rozbalit vše
    Tento kurz slouží k výuce předmětu Matematika ve druhém ročníku.


    Výuka dle rozvrhu v učebně 14    :
    Pondělí 10:40 - 11:25
    Středa 10:35 - 12:15


    Výuka probíhá dle následujících publikací:
    LIŠKA, Marek, Tomáš VALENTA a Lukáš KRÁL. Matika pro spolužáky - Funkce. Hradec Králové: ProSpolužáky.cz, 2017. ISBN 978-80-88255-12-3.
    LIŠKA, Marek, Tomáš VALENTA a Lukáš KRÁL. Matika pro spolužáky - Posloupnosti a řady. 2. vydání. Hradec Králové: ProSpolužáky.cz, 2017. ISBN 978-80-88255-06-2.

    Písemné zkoušení:
    Kvadratická rovnice a nerovnice - vzorové zadání, vzorové zadání
    Řešení druhého vzorového testu: 1. \( K = \{ -\frac{23}{3};2\} \), 2. \( \{-1; \frac{1}{6} \} \), 3. \( 0 \), konkávní, 4. \( \langle\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{46}}{3};\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{46}}{3}\rangle \), 5. parabola
    Úvod do funkcí - vzorové zadání
    Lineární funkce - vzorové zadání, vzorové zadání
    Kvadratická funkce - vzorové zadání
    Lineární lomenná funkce - vzorové zadání
    Pololetní písemná práce - vzorové zadání
    Mocninná a inverzní funkce - vzorové zadání
    Exponencionální funkce a exponencionální rovnice - vzorová zadání
    Řešení zadání Exponencionální funkce, rovnice 1: 1. \( f(-4) = 125 ; x = -7 \), 4. \( K = \{\frac{32}{3}\} \)
    Logaritmy - vzorové zadání
    Řešení zadání Logaritmy VZOR:  \( 1. \{-1\}, K = \{1024\}; 2. K = \{128\}; 3. x = a^y, y = log_a(x); 5. přirozený \)

    Pololetní písemná práce s řešením - vzorové zadání s řešením

  • Kvadratická rovnice a nerovnice

    Tvar kvadratické rovnice: \( ax^2 + bx + c = 0 \)
    Vzorec pro výpočet kvadratické rovnice: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

  • Funkce

    Funkční hodnota v bodě \( x \) je \( y \) :
    \( f(x) = y \)

    Typy příkladů:
    \( f(2) \): Dosaď číslo 2 za všechny \( x \) v příkladu a vypočítej \( y \)
    \( f(x) = 7 \): Dosaď číslo 7 za \( y \) a vypočítej \( x \)

    Definiční obor funkce \(f\) je množina všech reálných čísel, které můžeme ve funkci \( f(x) \) dosadit za argument \( x \) tak, aby daná funkce měla pro tuto hodnotu \( x \) definovanou výstupní hodnotu \( y \).

    Obor hodnot funkce \(f\) je množina všech reálných čísel \( y \), která dostaneme jako výstupní hodnotu funkce \(f\), jestliže za \(x\) dosadíme všechny přípustné hodnoty z \( D_f\).

    Definiční obor funkce:
    1. Ve jmenovateli nesmí být nula.
    2. V odmocnině může být pouze hodnota z intervalu \( \langle0;\infty) \)

  • Lineární funkce

    Obecný předpis pro lineární funkci \( f \):

    \( f : y = ax + b \)


    Parametr \( a \) určuje sklon funkce, parametr \( b \) posunutí na ose \( y \).


  • Kvadratická funkce

    Obecný předpis pro kvadratickou funkci \( f \):

    \( f : y = ax^2 + bx + c \)


    Parametr \( a \) určuje hloubku funkce, parametr \( b \) sklon funkce a parametr \( c \) posunutí na ose \( y \).


    Vrchol kvadratické funkce hledáme podle vzorce:

    \( V=\left[\frac{-b}{2a};\frac{4ac-b^2}{4a}\right] \)


  • Lineární lomenná funkce

    Obecný tvar pro lineární lomennou funkci \( f \):

    \( f : y = \frac{ax + b}{cx + d} \)

    Střed souměrnosti hyperboly se nachází v bodě \( [-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}] \).


    Středově (asymptotický) tvar lineární lomenné funkce \( f \):

    \( f : y = \frac{k}{x - m} + n \)

    Střed souměrnosti hyperboly se nachází v bodě \( [m; n] \).



  • Mocninná funkce

    Obecný tvar pro mocninnou funkci \( f \):

    \( f : y = (x-m)^{k} + n \)


    kde parametr \( m \) určuje horizontální posunutí a parametr \( n \) vertikální posunutí.


    Základní mocninné funkce
    Předpis funkce
    		 Parita funkce
    		 Graf funkce
    \( y = x^3 \) lichá lichá parabola
    \( y = x^4 \) sudá sudá parabola
    \( y = x^{-3} \) lichá lichá hyperbola
    \( y = x^{-4} \) sudá sudá hyperbola

  • Inverzní funkce

    Inverzní funkce k funkci \( f \) se značí \(f^{-1} \) a je k funkci \( f \) osově souměrná přes osu \( y = x \).

    Platí že: \( (f)^{-1} = f^{-1} \) a zároveň, že: \( (f^{-1})^{-1} = f \)


    Postup výpočtu inverzní funkce:

    1. Mějme definovanou funkci \( f: y = 4  + 2x \).
    2. Prohoďme \( x \) a \( y \) \( \Rightarrow x = 4 + 2y \).
    3. Vyjádříme \( y \) \( \Rightarrow \)  \( x - 4 = 2y \) \( \Rightarrow \)  \( y = \frac{x -4}{2} \).
    4. Nalezli jsme inverzní funkci \( f^{-1} : y = \frac{x -4}{2} \).
    5. Zkoušku můžeme provést buď zanesením do grafu, nebo inverzí inverzní funkce

  • Exponencionální funkce

    Obecný tvar pro exponencionální funkci \( f \):

    \( f : y = a^{x-m} + n \)


  • Logaritmy

    \( y = log_a{x} \Leftrightarrow x = a^y  \)

  • Posloupnosti