Operace s mnohočleny
Sčítání a odčítání mnohočlenů
\( (3x^5 - 2x^3 - y^2) - (y^2 - x^3 - x^5) = \)
\( (3x^5 - 2x^3 - y^2) + (-1) (y^2 - x^3 - x^5) = \)
Při odčítání delšího mnohočlenu je vždy nutné převrátit celou závorku na opačné hodnoty.
\( 3x^5 - 2x^3 - y^2 - y^2 + x^3 + x^5 = \)
Sčítáme pak vždy pouze stejné členy se stejnou mocninou.
\( 4x^5 - x^3 - 2y^2 \)
Násobení mnohočlenů
\( (3x^5 - 2x^3 - y^2) (y^2 - x^3 - x^5) = \)Zde používáme klasickou distributivitu násobení. Násobíme každý výraz prvního mnohočlenu s každým v druhém mnohočlenu.
\( 3x^5y^2 - 3x^8 - 3x^{10} - 2x^3y^2 + 2x^6 + 2x^8 - y^4 - y^2x^3 + y^2x^5 \)
Dělení mnohočlenů
Tři varianty řešení:
- Dělení mnohočlenu jednočlenem pomocí zlomku
- Dělení mnohočlenu jednočlenem pomocí mocnin
- Dělení mnohočlenu mnohočlenem postupným dělením
Příklad: \( \frac{3x^2 + 5x}{x} \)
Řešení variantou 1: \( \frac{3x^2 + 5x}{x} = \frac{x(3x + 5)}{x} = 3x + 5 \)
Řešení variantou 2: \( \frac{3x^2 + 5x}{x} = \frac{3x^2}{x} + \frac{5x}{x} = 3x^{2-1} + 5x^{1-1} = 3x + 5 \)
Příklad: \( \frac{8x^4 + 34x^3 + 7x^2 - 39x +35}{2x + 7} \)
Tento příklad je nutné řešit pomocí varianty 3.
Řešení variantou 3:
\( (8x^4 + 34x^3 + 7x^2 - 39x +35) \div (2x + 7) \)
\( (8x^4 + 34x^3 + 7x^2 - 39x +35) \div (2x + 7) \Rightarrow ... \)
\( 8x^4 \div 2x = 4x^3 \)
Vyděl nejvyšší členy polynomu!
\( (8x^4 + 34x^3 + 7x^2 - 39x +35) \div (2x + 7) \Rightarrow 4x^3 \)
Výsledek dělení nejvyšších členů polynomů vynásob dělitelem a odečti od celého výrazu.
\( -( 4x^3 (2x + 7) ) = - (8x^4+28x^3) = -8x^4 - 28x^3 \)
Iteruj, dokud neodečteš celý výraz.
\((6x^3+ 7x^2 - 39x +35) \div (2x + 7) \Rightarrow 4x^3 ... \)
\( 6x^3 \div 2x = 3x^2 \)
\((6x^3+ 7x^2 - 39x +35) \div (2x + 7) \Rightarrow 4x^3 + 3x^2 \)
\( - (3x^2 (2x + 7)) = - (6x^3 +21x^2) = - 6x^3 - 21x^2 \)
\( (-14x^2 - 39x + 35) \div (2x + 7) \Rightarrow 4x^3 + 3x^2 ... \)
\( -14x^2 \div 2x = -7x \)
\((-14x^2 - 39x +35) \div (2x + 7) \Rightarrow 4x^3 + 3x^2 - 7x \)
\( - ((-7x) (2x + 7)) = - (-14x^2 - 49x) = 14x^2 + 49x \)
\( (10x + 35) \div (2x + 7) \Rightarrow 4x^3 + 3x^2 - 7x ... \)
\( 10x \div 2x = 5 \)
\( (10x + 35) \div (2x + 7) \Rightarrow 4x^3 + 3x^2 - 7x + 5 \)
\( - (5(2x + 7)) = - (10x + 35) = -10x - 35 \)
HOTOVO!
\( \frac{8x^4 + 34x^3 + 7x^2 - 39x +35}{2x + 7} = 4x^3 + 3x^2 - 7x + 5 \)