1) Řešení vnořené odmocniny:


Pro \( x \geq 0 \) uprav výraz.

\( \sqrt{ x^{4} \sqrt{ x^{5} \sqrt{ x^{7} \sqrt{x^{2}}}}} \) = \( x^{\frac{b}{c}} \)

Urči \( b \) ze zlomku \( x^{\frac{b}{c}} \).

\( c = 2 \)

Odmocniny, u kterých neuvádíme číslo, považujeme za druhé odmocniny: \( \sqrt[2]{ x^{4} \sqrt[2]{ x^{5} \sqrt[2]{ x^{7} \sqrt[2]{x^{2}}}}} \).

\( \sqrt[r]{a^s} = a^{\frac{s}{r}} \)

\( \sqrt[2]{x^2} = x^{\frac{2}{2}} = x \)

\( \sqrt{ x^{4} \sqrt{ x^{5} \sqrt{ x^{7} \times x }}} \)

a tak dále...

viz Princip vnitřní funkce

2) Usměrnění zlomku:

\( \frac {17} {3- (7\sqrt{5})} = a + b \sqrt{c} \)

Cílem je se zbavit odmocniny ve jmenovateli!

Směřovat k aplikaci vzorečku: \( (a-b) \times (a+b) = a^2 - b^2 \)

\( \frac {17} {3- (7\sqrt{5})} = \frac {17} {3- (7\sqrt{5})} \times \frac{3+(7\sqrt{5})}{3+(7\sqrt{5})} = \frac {17 \times (3+ (7\sqrt{5}))} {(3- (7\sqrt{5})) \times (3+(7\sqrt{5}))}  = \frac {17 \times (3+ (7\sqrt{5}))} {(3- (7\sqrt{5}))  (3+(7\sqrt{5}))} = \)

\( \frac {17 \times (3+ (7\sqrt{5}))} {3^2 - (7\sqrt{5})^2} = \frac {17 \times (3+ (7\sqrt{5}))} {3^2 - (7^2 \times (\sqrt{5})^2)} = \frac {17 \times (3+ (7\sqrt{5}))} {9 - (49 \times 5)} =\)

\( \frac {17 \times (3+ (7\sqrt{5}))} {9 - 245} = \frac {(17 \times 3) + (17 \times 7\sqrt{5})} {-236} = -\frac{51 + 119\sqrt{5}}{236} = - \frac{51}{236} + \frac{119}{236} \times \sqrt{5} \)


3) Sčítání mocnin:

\( \frac{x^3 \times y^{-1}}{x^{-3} \times y^{3}} = x^a \times y^b \)

\( \frac{x^3 \times y^{-1}}{x^{-3} \times y^{3}} = x^3 \times x^3 \times y^{-1} \times y^{-3} = x^{3+3} \times y^{(-1) + (-3)} = x^6 \times y^{-4} \)


4) Násobení mocnin:

\( (((x^4)^{-3})^2)^{-1} = x^a \)

\( (((x^4)^{-3})^2)^{-1} = x^{4 \times (-3) \times 2 \times (-1)} = x^{24} \)


5) Převod mocnin na číslo:

\( \frac{5^3 \times 3^{\frac{1}{2}}}{15^{-\frac{2}{3}}} = \frac{5^3 \times 3^{\frac{1}{2}}}{(3 \times 5)^{-\frac{2}{3}}} = 5^3 \times 3^{\frac{1}{2}} \times (3 \times 5)^{\frac{2}{3}} = 5^3 \times 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{2}{3}} \times 5^{\frac{2}{3}} = (5^3 \times 5^{\frac{2}{3}}) \times (3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{2}{3}}) = (5^{\frac{9}{3}} \times 5^{\frac{2}{3}}) \times (3^{\frac{3}{6}} \times 3^{\frac{4}{6}}) = (5^{\frac{11}{3}}) \times (3^{\frac{7}{6}}) = \sqrt[3]{5^{11}} \times \sqrt[6]{3^7}\)


6) Vytknutí \( x^n \) z polynomu

\( x^7 +  x^{-5} + x^2 - x + 7  = x^a \times (b + c + d + e + f) \)

Cílem je vytknout výraz s nejvyšší mocninou z výchozího polynomu!

\( x^7 +  x^{-5} + x^2 - x + 7  = x^7 +  \frac{1}{x^5} + x^2 - x + 7 = x^7 \times (1 + \frac{\frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^7}{1}} + \frac{1}{x^5} - \frac{1}{x^6} + \frac{7}{x^7}) =  x^7 \times (1 + \frac{1}{x^{12}} + \frac{1}{x^5} - \frac{1}{x^6} + \frac{7}{x^7}) \)


Naposledy změněno: Úterý, 5. ledna 2021, 13.16