Důkaz sporem

\(  A \Rightarrow B \)

Důkaz sporem dokazuje nepravdivost negace původního výroku.

V podstatě na chvíli prohlásím výrok "za nepravdivý" a hledám nějaký evidentní spor.

Stačí mi tak najít jeden protipříklad a mám hotovo.

\( \neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \wedge \neg B \)

Příklad: Dokaž následující výrok. \( \forall n \in N \): Jestliže je \(n^2\) je liché, pak \( n \) je liché.

Negace výroku: Jestliže je \(n^2\) je liché a zároveň \( n \) je sudé.

\( (2n)^2 = 4n^2 \)

Naprosto nevhodný příklad pro pochopení 😂

Příklad: Dokaž následující výrok. Jestliže \( a \) je menší než \( 1 \) a zároveň větší než \(0\), pak \( a^2 \) je menší než \(a\).

\( A = (a \in (0;1)) = 0 < a < 1 \)

\( B = (a^2 < a) \)

\( \neg B = (a^2 \geq a) \)

\( A \wedge \neg B = 0 < a < 1 \wedge a^2  \geq a \)

\( a^2  \geq a \)

\( a^2 - a \geq 0 \)

\( a \times( a - 1) \geq 0 \)

\( a \in (-\infty; 0\rangle \cup \langle1;\infty); a \in (0;1) \)

SPOR